Question

已知f（x）=4^ax-m•2^x+1．
（1）当a=1时，函数f（x）在[0，log₂3]上的最小值为-4，求实数m的值；
（2）当m=1时，若f（x）≥2^x在[1，2]上恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,复合函数的单调性

专题：函数的性质及应用

分析：（1）当a=1时，函数f（x）=4^x-2m2^x，利用换元法结合一元二次函数的性质即可求出m的值；
（2）当m=1时，f（x）≥2^x?4^ax-2^x+1≥2^x，两边取对数，log24ax≥log23•2x，得出2ax≥x+log₂3，进一步整理得2a≥

log23

x

+1，
求最值，使2a≥(

log23

x

+1)最小值即可求出a的范围．

解答： 解：（1）当a=1时，函数f（x）=4^x-2m2^x，
f（x）=（2^x）²-2m•2^x，
令t=2^x，则t∈[1，3]，
则函数等价为y=g（t）=t²-2mt=（t-m）²-m²，
①m≥3时，f（x）_min=g（3）=9-6m=-4，∴m=

13

6

（舍）；
②1＜m＜3时，f（x）_min=g（m）=-m²=-4，∴m=2；
③m≤1时，f（x）_min=g（1）=1-2m=-4，∴m=

5

2

（舍）；
综上，m=2
（2）当m=1时，f（x）≥2^x?4^ax-2^x+1≥2^x，
∴4^ax≥3•2^x，两边取对数，log24ax≥log23•2x，∴2ax≥x+log₂3
∴2a≥

log23

x

+1，x∈[1，2]恒成立，
当x=1时，(

log23

x

+1)最小值=1+log₂3，
∴2a≥1+log₂3，
∴a≥

1+log23

2

．

点评：本题主要考查与指数函数有关的性质是运算，同时考查函数恒成立的问题，利用换元法结合一元二次函数的性质是解决本题的关键．