Question

【题目】已知抛物线，点

（1）求点与抛物线的焦点的距离；

（2）设斜率为的直线与抛物线交于两点，若的面积为，求直线的方程；

（3）是否存在定圆，使得过曲线上任意一点作圆的两条切线，与曲线交于另外两点时，总有直线也与圆相切？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在实数

【解析】

（1）由抛物线方程求出抛物线的焦点坐标，再根据两点间的距离公式，即可求出距离；

（2）设直线的方程为，代入抛物线的方程，由弦长公式求出，点到直线的距离公式求出的高，再依据三角形的面积公式，解方程可得，进而得到直线方程；

（3）假设存在，根据一般到特殊的原理，取，设切线为，联立抛物线方程，求出点以及直线，由相切可得．再由特殊到一般，证明对任意的动点，直线与圆相切，即可说明存在，使得直线与圆相切．

（1）抛物线的焦点坐标为，

则点与抛物线的焦点的距离为．

（2）设直线的方程为，

把方程代入抛物线，可得，

，，

，

点到直线的距离，

，

解得，所以直线的方程．

（3）假设存在．取，圆，设切线为，

由，解得，①

将直线代入抛物线方程，

解得，，

直线的方程为，

若直线和圆相切，可得②

由①②解得，．

下证时，对任意的动点，直线和圆相切．

理由如下：设，， ，

由，可得，

，，

又直线与曲线相交于，，

由，代入抛物线方程可得，

可得，，

则，是方程的两根，

即有，即，同理．

则有，，

直线，

即为，

则圆心到直线的距离为

，

由，

代入上式，化简可得，

则有对任意的动点，存在实数，使得直线与圆相切．