Question

已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜

π

2

)图象的相邻两条对称轴间的距离为

π

2

，且图象上一个最高点的坐标为(

π

8

，5)．
（I）求f（x）的解析式；（II）若α∈[

π

4

，

3π

4

]，且f(

α

2

)=3，求tan2α的值．

Answer 1

分析：（I）图象的相邻两条对称轴间的距离为

π

2

，求出周期，求出ω的值．图象上一个最高点的坐标为(

π

8

，5)，求出A的值，利用点在图象上，求出φ，然后求出解析式．  
（II）解法一：利用（1）得到f（x）的解析式；通过f(

α

2

)=3求出sinα+cosα，推出sin2α，cos2α，然后求出tan2α．
      解法二：通过f(

α

2

)=3求出sin(α+

π

4

)=

3

5

，通过解答变换技巧，求出sinα，然后求出sin2α，cos2α，然后求出tan2α．
      解法三：通过f(

α

2

)=3求出sinα+cosα，然后平方得到sin²α+2sinαcosα+2cos²α=

18

25

，利用齐次式求出tanα，根据α的范围，确定tanα的值，求出tan2α．

解答：解：（I）函数图象上一个最高点的坐标为(

π

8

，5)．A=5；
图象的相邻两条对称轴间的距离为

π

2

，所以T=π，ω=2，
(

π

8

，5)在图象上，所以2×

π

8

+φ=2kπ+

π

2

，（k∈Z），
故φ=2kπ+

π

4

，（k∈Z），又0＜φ＜

π

2

∴φ=

π

4

，
∴f(x)=5sin(2x+

π

4

)
（II）∵f(x)=5sin(2x+

π

4

)，∴f(

α

2

)=3=5sin(α+

π

4

)
sin(α+

π

4

)=

3

5

，
解法一：sinα+cosα=

3 2

5

，
sin²α+2sinαcosα+2cos²α=

18

25

sin2α=-

7

25

，α∈[

π

4

，

3π

4

]，2α∈[

π

2

，

3π

2

]，
cos2α=-

1-sin2α

=-

24

25

tan2α=

7

24

解法二：∵f(x)=5sin(2x+

π

4

)，∴f(

α

2

)=3=5sin(α+

π

4

)
sinα=sin[(α+

π

4

)-

π

4

]=

3

5

×

2

2

-（-

4

5

）

2

2

=

7 2

10

cos2α=1-sin²α=-

24

25

cos2（α+

π

4

）=1-2sin²（α+

π

4

）=1-2(

3

5

)2=

7

25

cos2（α+

π

4

）=-sin2α∴sin2α=-

7

25

∴tan2α=

7

24

解法三：∵f(x)=5sin(2x+

π

4

)，∴f(

α

2

)=3=5sin(α+

π

4

)
sin(α+

π

4

)=

3

5

   sinα+cosα=

3 2

5

，
sin²α+2sinαcosα+2cos²α=

18

25

sin2α+2sinαcosα+2cos2α

sin2α+cos2α

=

18

25

   

tan2α+2tanα+2

tan2α+1

=

18

25

解得tanα=-7，tanα=-

1

7

∵α∈[

π

4

，

3π

4

]  所以tanα≤-1或tanα≥1，
所以tanα=-7，
tan2α=

2tanα

1-tan2α

=

7

24

点评：本题是中档题，考查三角函数的化简求值，周期的应用，已知三角函数值求其它三角函数值，考查计算能力，逻辑推理能力．