Question

设f为（0，+∞）→（0，+∞）的函数，对任意正实数x，f（5x）=5f（x），f（x）=2-|x-3|，1≤x≤5，则使得f（x）=f（665）的最小实数x为（　　）

• A、45
• B、65
• C、85
• D、165

Answer 1

考点：函数的值

专题：函数的性质及应用

分析：实际上，此题类似于“周期函数”，只是这个“周期”是每次五倍增大变化的，要求其解析式，只需将x化归到[1，5]上即可．而与f（665）相等的也不止一个，为此我们只需找到相应的那个区间即可求出来．

解答： 解：∵f（5x）=5f（x），
∴f（x）=5f(

x

5

)，
∴f（665）=5⁴f（1.064）=40，
同理f（x）=5nf(

x

5n

)=

5n( x 5n -1)，(1≤ x 5n ≤3) 5n(5- x 5n )，(3＜ x 5n ≤5)

当

5n( x 5n -1)=40 1≤ x 5n ≤3

当n=2时，找的第一个符合前面条件的x=65；
当

5n(5- x 5n )=40 3＜ x 5n ≤5

当n=2时找到最小的x=85符合前面条件．
综上，当x=65时满足题意．
故选B．

点评：本题应属于选择题中的压轴题，对学生的能力要求较高，解决问题的关键在于如何将f（665）转化到[1，5]上求出它的函数值，二是如何利用方程思想构造方程，按要求求出x的值．