Question

3．已知函数f（x）=Asin（ωx-$\frac{π}{3}$）+1（A＞0，ω＞0）的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离是$\frac{π}{2}$．
（1）求f（x）的解析式：
（2）求f（x）的在[0，π]上的单增区间：
（3）若f（$\frac{α}{2}$）＞2，求α的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据函数的最值和函数的周期性即可求f（x）的解析式：
（2）根据三角函数的单调性即可求f（x）的在[0，π]上的单增区间：
（3）若f（$\frac{α}{2}$）＞2，化简不等式，结合三角函数的单调性即可求α的取值范围．

解答 解：（1）∵函数f（x）=Asin（ωx-$\frac{π}{3}$）+1（A＞0，ω＞0）的最大值为3，
∴1+A=3，即A=2，
∵图象相邻两条对称轴之间的距离是$\frac{π}{2}$，
∴$\frac{T}{2}$=$\frac{π}{2}$，即函数的周期T=π，
即T=$\frac{2π}{ω}$=π，得ω=2，
即f（x）的解析式为f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）+1．
（2）由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
得kπ-$\frac{π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{12}$，k∈Z，
当k=0时，-$\frac{π}{12}$≤x≤$\frac{5π}{12}$，
当k=1时，$\frac{11π}{12}$≤x≤$\frac{17π}{12}$，
∵x∈[0，π]，∴0≤x≤$\frac{5π}{12}$或$\frac{11π}{12}$≤x≤π，
∴函数的单增区间为[0，$\frac{5π}{12}$]，[$\frac{11π}{12}$，π]．
（3）若f（$\frac{α}{2}$）＞2，
则2sin（α-$\frac{π}{3}$）+1＞2．
即2sin（α-$\frac{π}{3}$）＞1．
则sin（α-$\frac{π}{3}$）＞$\frac{1}{2}$．
即2kπ+$\frac{π}{6}$＜α-$\frac{π}{3}$＜2kπ+$\frac{5π}{6}$，k∈Z，
即2kπ+$\frac{π}{2}$＜α＜2kπ+$\frac{7π}{6}$，k∈Z，
即α的取值范围是（2kπ+$\frac{π}{2}$，2kπ+$\frac{7π}{6}$），k∈Z，．

点评 本题主要考查三角函数解析式的求解以及三角函数的图象和性质，根据条件求出函数的解析式是解决本题的关键．