【题目】设关于的一元二次方程
.
(1)若是从0,1,2,3四个数中任取的一个数,
是从0,1,2三个数中任取的一个数,求上述方程有实根的概率;
(2)若时从区间
上任取的一个数,
是从区间
上任取的一个数,求上述方程有实根的概率.
【答案】(1);(2)
.
【解析】试题分析:由二次方程有实数根可得满足的条件
,(Ⅰ)中由
可以取得值得到所有基本事件个数及满足条件的基本事件个数,求其比值可求概率;(Ⅱ)中由
范围得到
对应的区域,并求得满足
的区域,求其面积比可求其概率
试题解析:设事件为“方程
有实数根”.
当时,因为方程
有实数根,
则
(Ⅰ)基本事件共12个,如下:(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2),(3,0),(3,1),(3,2)其中第一个数表示的取值,第二个数表示
的取值,事件
包含9个基本事件,事件
发生的概率为
(Ⅱ)实验的全部结果所构成的区域为,
构成事件的区域为
所以所求的概率为:
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【题目】已知圆,直线
与圆
相切,且交椭圆
于
,
两点,
是椭圆的半焦距,
.
(1)求的值;
(2)为坐标原点,若
,求椭圆
的方程;
(3)在(2)的条件下,设椭圆的左右顶点分别为
,
,动点
,直线
,
与直线
分别交于
,
两点,求线段
的长度的最小值.
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【题目】某校随机抽取100名学生调查寒假期间学生平均每天的学习时间,被调查的学生每天用于学习的时间介于1小时和11小时之间,按学生的学习时间分成5组:第一组,第二组
,第三组
,第四组
,第五组
,绘制成如图所示的频率分布直方图.
(1)求学习时间在的学生人数;
(2)现要从第三组、第四组中用分层抽样的方法抽取6人,从这6人中随机抽取2人交流学习心得,求这2人中至少有1人学习时间在第四组的概率.
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【题目】若函数y=x2+(a+2)x﹣3,x∈[a,b]的图象关于直线x=1对称.
(1)求a、b的值和函数的零点
(2)当函数f(x)的定义域是[0,3]时,求函数f(x)的值域..
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【题目】某校从参加高二年级期末考试的学生中抽出60名学生,并统计了他们的化学成绩(成绩均为整数且满分为100分),把其中不低于50分的分成五段,
,…,
后画出如图部分频率分布直方图.观察图形的信息,回答下列问题:
(1)求出这60名学生中化学成绩低于50分的人数;
(2)估计高二年级这次考试化学学科及格率(60分以上为及格);
(3)从化学成绩不及格的学生中随机调查1人,求他的成绩低于50分的概率.
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【题目】如图,四棱锥中,
底面
,底面
是直角梯形,
,
,
,
,点
在
上,且
.
(Ⅰ)已知点在
上,且
,求证:平面
平面
;
(Ⅱ)当二面角的余弦值为多少时,直线
与平面
所成的角为
?
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【题目】根据国家环保部最新修订的《环境空气质量标准》规定:居民区PM2.5的年平均浓度不得超过35微克/立方米,PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米。某城市环保部分随机抽取的一居民区过去20天PM2.5的24小时平均浓度的监测数据,数据统计如下:
组别 | PM2.5平均浓度 | 频数 | 频率 |
第一组 | (0,25] | 3 | 0.15 |
第二组 | (25,50] | 12 | 0.6 |
第三组 | (50,75] | 3 | 0.15 |
第四组 | (75,100] | 2 | 0.1 |
(Ⅰ)从样本中PM2.5的24小时平均浓度超过50微克/立方米的5天中,随机抽取2天,求恰好有一天PM2.5的24小时平均浓度超过75微克/立方米的概率;
(II)求样本平均数,并根据样本估计总计的思想,从PM2.5的年平均浓度考虑,判断该居民区的环境是否需要改进?并说明理由.
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【题目】已知下图中,四边形 ABCD是等腰梯形, ,
,O、Q分别为线段AB、CD的中点,OQ与EF的交点为P,OP=1,PQ=2,现将梯形ABCD沿EF折起,使得
,连结AD、BC,得一几何体如图所示.
(Ⅰ)证明:平面ABCD平面ABFE;
(Ⅱ)若上图中, ,CD=2,求平面ADE与平面BCF所成锐二面角的余弦值.
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