【题目】如图,四棱锥中,
底面
,底面
是直角梯形,
,
,
,
,点
在
上,且
.
(Ⅰ)已知点在
上,且
,求证:平面
平面
;
(Ⅱ)当二面角的余弦值为多少时,直线
与平面
所成的角为
?
【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)当二面角的余弦值为
时,直线
与平面
所成的角为
.
【解析】试题分析:(Ⅰ)现根据已知,结合平面几何知识证明,进而可证四边形
是平行四边形,则
,从而
,利用
底面
,结合线面垂直、面面垂直的判定定理可得结果;(Ⅱ)以
为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,∵
是平面
的一个法向量,
再求出平面的一个法向量,利用空间向量夹角余弦公式可得结果.
试题解析:(Ⅰ)∵,
,∴
,
∵底面是直角梯形,
,
,
∴,即
,
∴,
∵,
,∴
,
∴四边形是平行四边形,则
,
∴,
∵底面
,∴
,
∵,
∴平面
,∵
平面
,
∴平面平面
.
(Ⅱ)解:∵,
,∴
平面
,则
为直线
与平面
所成的角,
若与平面
所成夹角为
,则
,即
,
取的中点为
,连接
,则
,以
为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系
,
则,
,
,
,
∴,
,
设平面的法向量
,则
即
令,则
,
,∴
,
∵是平面
的一个法向量,
∴,
即当二面角的余弦值为
时,直线
与平面
所成的角为
.
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【题目】下列命题中
①函数f(x)=( )x的递减区间是(﹣∞,+∞)
②已知函数f(x)的定义域为(0,1),则函数f(x+1)的定义域为(1,2);
③已知(x,y)映射f下的象是(x+y,x﹣y),那么(4,2)在f下的原象是(3,1).
其中正确命题的序号为 .
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【题目】某中学拟在高一下学期开设游泳选修课,为了了解高一学生喜欢游泳是否与性别有关,该学校对100名高一新生进行了问卷调查,得到如下列联表:
喜欢游泳 | 不喜欢游泳 | 合计 | |
男生 | 10 | ||
女生 | 20 | ||
合计 |
已知在这100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为.
(1)请将上述列联表补充完整;
(2)并判断是否有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关?并说明你的理由;
(3)已知在被调查的学生中有5名来自甲班,其中3名喜欢游泳,现从这5名学生中随机抽取2人,求恰好有1人喜欢游泳的概率.
下面的临界值表仅供参考:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(参考公式:,其中
)
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【题目】某次数学考试试题中共有道选择题,每道选择题都有
个选项,其中仅有一个是正确的.评分标准规定:“每题只选
项,答对得
分,不答或答错得
分.”某考生每道题都给了一个答案,已确定有
道题的答案是正确的,而其余题中,有两道题都可判断出两个选项是错误的有一道题可以判断一个选项是错误的,还有一道题因不理解题意只能乱猜,试求出该考生:
(Ⅰ)得分的概率;
(Ⅱ)所得分数的数学期望.
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【题目】设关于的一元二次方程
.
(1)若是从0,1,2,3四个数中任取的一个数,
是从0,1,2三个数中任取的一个数,求上述方程有实根的概率;
(2)若时从区间
上任取的一个数,
是从区间
上任取的一个数,求上述方程有实根的概率.
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【题目】函数g(x)=f(x)+2x,x∈R为奇函数.
(1)判断函数f(x)的奇偶性;
(2)若x>0时,f(x)=log3x,求函数g(x)的解析式.
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【题目】在直角坐标系中,二次函数
的图象与
轴交于
,
两点,点
的坐标为
.当
变化时,解答下列问题:
(1)以为直径的圆能否经过点
?说明理由;
(2)过,
,
三点的圆在
轴上截得的弦长是否为定值?若是,则求出该定值;若不是,请说明理由.
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【题目】已知函数,
(
为常数).
(Ⅰ)求函数在点
处的切线方程;
(Ⅱ)当函数在
处取得极值
,求函数
的解析式;
(Ⅲ)当时,设
,若函数
在定义域上存在单调减区间,求实数
的取值范围.
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【题目】某城市100户居民的月平均用电量(单位:度),以,
,
,
,
,
,
分组的频率分布直方图如图所示.
(1)求直方图中的值;
(2)求月平均用电量的众数和中位数;
(3)在月平均用电量在,
,
的三组用户中,用分层抽样的方法抽取10户居民,则月平均用电量在
的用户中应抽取多少户?
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