Question

12．在△ABC中，2B=A+C，b=1，则a+c的取值范围是（1，2]．

Answer 1

分析 由题意和内角和定理求出B，并求出A、C的关系式，利用正弦定理用角的正弦表示a，c，利用两角和差的三角公式以及辅助角公式化简，再由正弦函数的性质求出a+c的取值范围．

解答 解：由题意知，△ABC中，2B=A+C，
因为A+B+C=π，所以B=$\frac{π}{3}$，
则A+C=π-$\frac{π}{3}$=$\frac{2π}{3}$，C=$\frac{2π}{3}$，所以0＜A＜$\frac{2π}{3}$，
又b=1，由正弦定理得：$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$=$\frac{1}{sin\frac{π}{3}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
所以a=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinA，c=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinC，
则a+c=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$（sinA+sinC）=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$[sinA+sin（$\frac{2π}{3}$-A）]
=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$（sinA+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosA+$\frac{1}{2}$sinA）=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$（$\frac{3}{2}$sinA+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosA）
=2sin（A+$\frac{π}{6}$），
由0＜A＜$\frac{2π}{3}$得，$\frac{π}{6}$＜A+$\frac{π}{6}$＜$\frac{5π}{6}$，则$\frac{1}{2}$＜sin（A+$\frac{π}{6}$）≤1，
即1＜2sin（A+$\frac{π}{6}$）≤2，
所以a+c的取值范围是（1，2]．
故答案为：（1，2]．

点评 本题主要考查正弦定理的应用，利用条件将a+c转化为三角函数是解决本题的关键，要求熟练掌握公式，属于基础题．