Question

【题目】以下四个关于圆锥曲线的命题,

①双曲线与椭圆有相同的焦点；

②在平面内，设为两个定点，为动点，且，其中常数为正实数，则动点的轨迹为椭圆；

③方程的两根可以分别作为椭圆和双曲线的离心率；

④过双曲线的右焦点作直线交双曲线于两点，若，则这样的直线有且仅有3条.

其中真命题的个数为（ ）

A. 4B. 3C. 2D. 1

Answer 1

【答案】C

【解析】

利用椭圆和双曲线的几何性质，焦点、离心率等知识来判定四个选项

①在双曲线中，，则双曲线的焦点坐标为，在椭圆中，，则椭圆的焦点坐标为，则它们的焦点不相同，故错误；

②在平面内，设为两个定点，为动点，且，其中常数为正实数，则动点的轨迹为椭圆，错误。当，则动点的轨迹为椭圆；当时，则动点的轨迹为线段，当时，则动点的轨迹不存在；

③方程的两根可以分别作为椭圆和双曲线的离心率，因为椭圆的离心率在内，双曲线的离心率大于1，故正确；

④当过右焦点垂直于轴的直线与双曲线的右支的交点为 ，，

所以与右支有两个交点时，只有一条直线；

，则过右焦点与双曲线左右支各一个交点时，满足此时有2条直线，一共有3条直线，故正确

综上真命题的个数为2个

故选C