Question

已知函数f（x）=x³-ax²-（a-3）x+b，
（1）若函数f（x）在x=-1处取得极值-，求实数a，b的值；
（2）若a=1，且函数f（x）在[-1，2]上恰有两个零点，求实数b的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）f′（x）=x²-3ax-（a-3），由f（x）在x=-1处取得极值-，可得f′（-1）=0，f（-1）=-，解出即可；
（2）先求出函数f（x）的解析式，然后研究函数f（x）在[-1，2]上的单调性，
根据函数f（x）在[-1，2]上恰有两个零点，建立不等关系，最后解之即可．
解答：解：（1）f′（x）=x²-3ax-（a-3），…．（2分）
函数f（x）在x=-1处取得极值-，
则…．（6分）
解得，．
经检验，当a=-2，b=1时函数f（x）在x=-1处取得极值…（8分）
（2）若a=1，f（x）=x³-x²+2x+b，f′（x）=x²-3x+2，
令f′（x）=0，得到x=1或x=2，

x	-1	（-1，1）	1	（1，2）	2
f′（x）		+		-
f（x）		↗	极大值	↘

…..（11分）
由于函数f（x）在[-1，2]上恰有两个零点
即解得…（14分）
点评：本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及函数的零点等有关基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．