Question

在某两个正数x,y之间,若插入一个数a,使x,a,y成等差数列,若插入两个数b,c,使x,b,c,y成等比数列,求证:(a+1)²≥(b+1)(c+1).

Answer 1

见解析

证明:方法一:由条件得
消去x,y即得:2a=+,且有a>0,b>0,c>0,
要证(a+1)²≥(b+1)(c+1),
只需证a+1≥,
因为≤=+1,
所以只需证2a≥b+c,而2a=+,
所以只需证+≥b+c,
即b³+c³≥bc(b+c),(b+c)(b²+c²-bc)≥bc(b+c),
而b+c>0,则只需证b²+c²-bc≥bc,
即(b-c)²≥0,上式显然成立.
所以原不等式成立.
方法二:由等差、等比数列的定义知:
用x,y表示a,b,c得
所以(b+1)(c+1)=(+1)(+1)
≤
=(2x+y+3)(x+2y+3)
≤
==(a+1)²,
所以原不等式成立.