Question

8．如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧面AA₁B₁B为正方形，侧面BB₁C₁C菱形，∠CBB₁=60°，AB⊥平面BB₁C₁C，且D是BC的中点．
（1）求证：A₁B∥平面ADC₁；
（2）若AB=2，求三棱锥B₁-ABC体积．

Answer 1

分析 （1）连接A₁C，与AC₁交于O，连接OD，利用三角形中位线的性质，证明A₁B∥OD，利用线面平行的判定定理证明A₁B∥平面AC₁D；
（2）利用等体积转化法求解三棱锥B₁-ABC体积即可．

解答 （1）证明：连接A₁C，与AC₁交于O，连接OD，则O是AC₁的中点，
∵D是BC的中点，
∴OD∥A₁B，
∵A₁B?平面ADC₁，OD?平面ADC₁，
∴A₁B∥平面ADC₁；
（2）解：设E是BB₁的中点，连结CE，则CE⊥BB₁．
∵AB⊥平面BB₁C₁C，
∴AB⊥CE，
∵AB∩BB₁=B，
∴CE⊥平面ABB₁A₁，且CE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB=$\sqrt{3}$．
∴三棱锥B₁-ABC体积=三棱锥C-ABB₁体积=$\frac{1}{3}{S}_{△AB{B}_{1}}•CE$=$\frac{1}{6}$AB²•CE=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$

点评 本题考查几何体的体积的求法，直线与平面平行的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．