Question

3．已知函数f（x）=$\sqrt{x-3}$-$\frac{1}{\sqrt{7-x}}$的定义域为集合A．且B={x∈Z|2＜x＜10}，C={x∈R|x＜a或x＞a+1}．
（Ⅰ）求A和（∁_UA）∩B；
（Ⅱ）若A∪C=R，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据f（x）的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集A，再求∁_RA∩B；
（Ⅱ）根据A∪C=R，列出不等式组$\left\{\begin{array}{l}{a≥3}\\{a+1＜7}\end{array}\right.$，求出a的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=$\sqrt{x-3}$-$\frac{1}{\sqrt{7-x}}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x-3≥0}\\{7-x＞0}\end{array}\right.$，
解得3≤x＜7，
∴A={x|3≤x＜7}；
∴∁_RA={x|x＜3或x≥7}，
又B={x∈Z|2＜x＜10}={3，4，5，6，7，8，9}，
∴∁_RA∩B={7，8，9}；
（Ⅱ）∵A={x|3≤x＜7}，C={x∈R|x＜a或x＞a+1}，
且A∪C=R，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a≥3}\\{a+1＜7}\end{array}\right.$，
解得3≤a＜6．

点评 本题考查了求函数的定义域以及集合的基本运算问题，是基础题．