Question

设函数f（x）=x²+2ax-b²+4．
（Ⅰ）若a是从-2、-1、0、1、2五个数中任取的一个数，b是从0、1、2三个数中任取的一个数，求函数f（x）无零点的概率；
（Ⅱ）若a是从区间[-2，2]任取的一个数，b是从区间[0，2]任取的一个数，求函数f（x）无零点的概率．

Answer 1

考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率,几何概型

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）问题等价于a²+b²＜4，列举可得基本事件共有15个，事件A包含6个基本事件，可得概率；（Ⅱ）作出图形，由几何概型的概率公式可得．

解答： 解：（Ⅰ）函数f（x）=x²+2ax-b²+4无零点等价于方程x²+2ax-b²+4=0无实根，
可得△=（2a）²-4（-b²+4）＜0，可得a²+b²＜4
记事件A为函数f（x）=x²+2ax-b²+4无零点，
总的基本事件共有15个：（-2，0），（-2，1），（-2，2），（-1，0），
（-1，1），（-1，2），（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），
（1，2），（2，0），（2，1），（2，2），事件A包含6个基本事件，
∴P（A）=

6

15

=

2

5

（Ⅱ）如图，试验的全部结果所构成的区域为（矩形区域）

事件A所构成的区域为A={（a，b）|a²+b²＜4且（a，b）∈Ω}即图中的阴影部分．
∴P(A)=

SA

SΩ

=

2π

8

=

π

4

点评：本题考查古典概型和几何概型，属基础题．