Question

已知函数f（x）=ln（x+1）-ln（1-x）
（1）求f（x）的定义域；
（2）判断f（x）的奇偶性；
（3）求使f（x）＞1的x的取值范围．

Answer 1

考点：对数函数图象与性质的综合应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据使函数解析式有意义的原则，可构造关于x的不等式组，求出f（x）的定义域；
（2）由（1）中函数的定义域为（-1，1），再由f（-x）=ln（1-x）-ln（1+x）=-f（x），可知此函数为奇函数．
（3）根据对数函数的单调性，将不等式转化为分式不等式，进而再转化为整式不等式，可得满足条件的x的取值范围．

解答： 解：（1）若使函数解析式有意义，自变量x须满足：
x+1＞0，且1-x＞0，
解得：-1＜x＜1，
故f（x）的定义域为（-1，1）
（2）由（1）中函数的定义域（-1，1）关于原点对称，
又由f（-x）=ln（1-x）-ln（1+x）=-f（x），
故f（x）为奇函数
（3）∵f（x）=ln（x+1）-ln（1-x）=ln

1+x

1-x

，
若f（x）＞1，即ln

1+x

1-x

＞1，
∴

1+x

1-x

＞e且-1＜x＜1，
∴1+x＞e-ex且-1＜x＜1，
∴

e-1

e+1

＜x＜1

点评：本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，函数的定义域，函数的奇偶性，解不等式，是函数的图象和性质与不等式的综合应用，难度中档．