Question

证明：当x＞0时，有x-

x3

6

＜sinx＜x．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：导数的综合应用

分析：设f（x）=x-sinx，f（0）=0．f′（x）=1-cosx，当x＞0时，f（x）单调递增，从而x＞sinx（x＞0）；设g（x）=sinx-x+

x3

6

，则g（0）=0，g′(x)=cosx-1+

x2

2

=2[

x

2

-sin

x

2

][

x

2

+sin

x

2

]，由此利用导数性质能证明当x＞0时，有x-

x3

6

＜sinx＜x．

解答： 证明：设f（x）=x-sinx，于是f（0）=0．
∵f′（x）=1-cosx（仅在x=2kπ（k∈Z）处f′（x）=0
∴当x＞0时，f（x）单调递增，
从而有f（x）＞f（0），即x-sinx＞0，x＞sinx（x＞0）
为证不等式sinx＞x-

x3

6

，x＞0，设g（x）=sinx-x+

x3

6

，则g（0）=0，
g′(x)=cosx-1+

x2

2

=

x2

2

-2sin2

x

2

=2[(

x

2

)2-(sin

x

2

)2]=2[

x

2

-sin

x

2

][

x

2

+sin

x

2

]，
∵x＞sinx，x＞0，∴

x

2

＞sin

x

2

，x＞0，
∵

x

2

∈(0，

π

2

]时，0＜sin

x

2

≤1，

x

2

∈(

π

2

，+∞)时，-1≤sin

x

2

≤1＜

π

2

，
∴

x

2

+sin

x

2

＞0，x＞0，
于是g′（x）＞0，∴g（x）在x＞0时递增，从而有g（x）＞g（0）=0，
sinx＞x-

x3

6

，x＞0，故当x＞0时，有x-

x3

6

＜sinx＜x．

点评：本题考查不等式的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．