Question

已知函数f（x）的定义域是D={x∈R|x≠0}，对任意x₁，x₂∈D都有：f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂），且当x＞1时，f（x）＞0．给出结论：①f（x）是偶函数；②f（x）在（0，+∞）上是减函数．则正确结论的序号是

 

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Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：根据抽象函数“凑”的原则，结合f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂），分别令x₁=x₂=1，x₁=-1，x₂=1，求得f（-1）=0，令x₁=-1，易判断出f（-x₂）与f（x₂）的关系，再根据函数奇偶性的定义，令x₁＞1，当x＞1时f（x）＞0，我们易根据函数单调性的定义得到结论．即可得到答案．

解答： 解：令x₁=x₂=1，
∴f（1）=2f（1），
∴f（1）=0，
令x₁=-1，x₂=1
f（-1）=f（-1）+f（1），
∴f（-1）=0，
令x₁=-1，
∴f（x₁•x₂）=f（-x₂）=f（-1）+f（x₂）；
又∵f（-1）=0
∴f（-x₂）=f（x₂）
故f（x）是偶函数；
令x₁＞1，当x₂∈（0，+∞）时，x₁•x₂＞x₂
∵当x＞1时f（x）＞0
∴f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂）＞f（x₂）．
故f（x）在（0，+∞）上是增函数．
故结论正确的序号是①．
故答案为：①

点评：本题考查的知识点是函数奇偶性的判断，函数单调性的判断与证明及抽象函数值，其中熟练掌握函数性质的定义及判断方法是解答本题的关键．