Question

已知函数f（x）=3sin

x

4

cos

x

4

+

3

sin²

x

4

-

3

2

+m，若对于任意的-

π

3

≤x≤

2π

3

有f（x）≥0恒成立，则实数m的取值范围是（　　）

• A、m≥

  3

  2

• B、m≥-

  3

  2

• C、m≥-

  3

  2

• D、m≥

  3

  2

Answer 1

考点：二倍角的余弦,两角和与差的正弦函数,二倍角的正弦

专题：三角函数的求值

分析：利用三角恒等变换化简函数的解析式为f（x）=

3

sin（

x

2

-

π

6

）+m，由-

π

3

≤x≤

2π

3

，求得函数f（x）取得最小值为-

3

2

+m≥0，从而求得实数m的取值范围．

解答： 解：函数f（x）=3sin

x

4

cos

x

4

+

3

sin²

x

4

-

3

2

+m=

3

2

sin

x

2

+

3

•

1-cos x 2

2

-

3

2

+m=

3

sin（

x

2

-

π

6

）+m，
对于任意的-

π

3

≤x≤

2π

3

有f（x）≥0恒成立，则f（x）在[-

π

3

，

2π

3

]上的最小值大于或等于零．
由-

π

3

≤x≤

2π

3

，可得-

π

3

≤

x

2

-

π

6

≤

π

6

，故当

x

2

-

π

6

=-

π

3

时，函数f（x）取得最小值为-

3

2

+m≥0，
求得m≥

3

2

，
故选：D．

点评：本题主要考查三角恒等变换，函数的恒成立问题，正弦函数的定义域和值域，体现了转化的数学思想，属于基础题．