Question

如图所示，某村在P处有一堆肥，今要把此堆肥料沿道路PA或PB送到成矩形的一块田ABCD中去，已知PA=100m，BP=120m，BC=60m，∠APB=60°，能否在田中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路PA送肥较近而另一侧的点则沿PB送肥较近？如果能，请说出这条界线是什么曲线，并求出它的方程．

Answer 1

考点：双曲线的应用

专题：应用题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：田地ABCD中的点可分为三类：第一类沿PA送肥近，第二类沿PB送肥较近，第三类沿PA或PB送肥一样近，由题意知，界线是第三类点的轨迹．建立坐标系，利用双曲线的定义，即可得到结论．

解答： 解：田地ABCD中的点可分为三类：第一类沿PA送肥近，第二类沿PB送肥较近，第三类沿PA或PB送肥一样近，由题意知，界线是第三类点的轨迹．
设M是界线上的任一点，则
|PA|+|MA|=|PB|+|MB|，
即|MA|-|MB|=|PB|-|PA|=20（定值）
故所求界线是以A、B为焦点的双曲线一支．
若以直线AB为x轴，线段AB的中点O为坐标原点，建立直角坐标系，则a=10，
2c=|AB|=

1002+1202-2•100•120•cos60°

=20

31

c=10

31

，b²=c²-a²=3000．
因此，双曲线方程为

x2

100

-

y2

3000

=1（x≥10，0≤y≤60），
即为所求界线的方程．

点评：本题考查双曲线的定义，考查利用数学知识解决实际问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．