Question

已知sinα+cosα=

2

2

，计算下列各式的值：
（1）sinα-cosα；                
（2）

1

sin2α

+

1

cos2α

．

Answer 1

考点：同角三角函数基本关系的运用

专题：三角函数的求值

分析：（1）将已知等式两边平方，利用完全平方公式及同角三角函数间基本关系变形，求出2sinαcosα的值，再利用完全平方公式化简，开方即可求出值；
（2）原式通分并利用同分母分式的加法法则计算，利用同角三角函数基本关系变形，将sinαcosα的值代入计算即可求出值．

解答： 解：（1）将sinα+cosα=

2

2

，两边平方得：（sinα+cosα）²=1+2sinαcosα=

1

2

，即2sinαcosα=-

1

2

，
∴（sinα-cosα）²=1-2sinαcosα=

3

2

，
则sinα-cosα=±

6

2

；
（2）∵2sinαcosα=-

1

2

，即sinαcosα=-

1

4

，
∴原式=

sin2α+cos2α

(sinαcosα)2

=

1

(- 1 4 )2

=16．

点评：此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．