Question

已知函数f(x)=²+lnx-1.

（1）试证明x₀∈(1,2)，使得f(x₀)=0;

（2）已知不等式f(x)-m≤0,对x∈(0,e］（e=2.718…）恒成立，求实数m的取值范围；

（3）求证：在区间(1,+∞)上，函数f(x)的图象在函数g(x)=x³的图象的下方.

Answer 1

(1)证明：∵f(1)=-1=＜0，f(2)=1+ln2＞0,

∴f(1)·f(2)＜0且函数f(x)在（1,2）上连续.

∴函数f(x)在（1,2）上有零点，即x₀∈(1,2)，使得f(x₀)=0.

（2）解:f′(x)=x+,

当x∈(0,e］时，f′(x)＞0,

∴函数f(x)在(0,e］上为增函数.

∴f(x)_max=f(e)=e².

不等式f(x)-m≤0,对x∈(0,e］恒成立等价于m≥f(x)_max，x∈(0,e］.

∴m≥e².

（3）证明：令F(x)=f(x)-g(x)=x²+lnx-1x³,

则F′(x)=x+-2x²==.

∵当x＞1时F′(x)＜0，

∴函数F(x)在区间(1,+∞)上为减函数.

∴F(x)＜F(1)=-1＜0,

即在(1,+∞)上，f(x)＜g(x).

∴在区间(1,+∞)上，函数f(x)的图象在函数g(x)=x³的图象的下方.