Question

【题目】设有二元关系，已知曲线.

（1）若时，正方形的四个顶点均在曲线上，求正方形的面积；

（2）设曲线与轴的交点是，抛物线与轴的交点是，直线与曲线交于，直线与曲线交于，求证直线过定点，并求该定点的坐标；

（3）设曲线与轴的交点是，，可知动点在某确定的曲线上运动，曲线上与上述曲线在时共有4个交点，其坐标分别是、、、，集合的所有非空子集设为，将中的所有元素相加（若只有一个元素，则和是其自身）得到255个数，求所有正整数的值，使得是一个与变数及变数均无关的常数.

Answer 1

【答案】（1）4；（2）直线过定点；（3）是奇数时，是一个与变数及变数均无关的常数.

【解析】

（1）令，解得，即表示两条平行直线，这两条平行线间的距离2为正方形的边长，由此可得正方形面积；

（2）曲线中，令，则，设，由韦达定理得，写出的方程求得的坐标，从而得直线的方程（只含有参数），观察方程可得直线所过定点；

（3）令，则，则，即点在曲线上，而曲线表示两条平行线且斜率为1，因此可知点关于直线对称，从而可得，同理．于是有，有，则时，，对其他244个子集配对：，满足，，这样的集合“对”共有127对。

以下证明：对的元素和和的元素和，当为奇数时，恒有，为此可用数学归纳法证明能够整除，从而得结论．

（1）令，得，即表示两条平行直线，这两条平行线间的距离为，此为正方形的边长，正方形的面积为4。

（2）在曲线中，令，则，设，由韦达定理得，由题意知，直线方程为，方程为，

由，解得，同理可得，∵，∴，∴直线方程为，化简为：，时，，故直线过定点；

（3）令，则，则，即点在曲线上，又曲线：恒表示两条平行直线，如图，

关于直线对称，则，即，同理，则，集合的所有非空子集设为，取，显然，则时，，对的其他子集，我们把它们配成集合“对”，使得，，这样的集合“对”共有127对。

以下证明：对的元素和和的元素和，当为奇数时，恒有，为此先证明：是奇数时，则能够整除，

用数学归纳法证之：

(i)当时显然成立，

(ii)假设（是奇数）成立，即能够整除，则当时，，

由归纳假设知此式能被整除，

由(i)(ii)可知当为奇数时，能够整除．

∴为奇数时，（其中是关于的整式），

∵，，∴对每一个集合“对”，，

则一定有＝0，，于是是常数．