Question

【题目】已知函数.

（1）当时，求的单调区间；

（2）若函数在定义域内是单调函数，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）递减区间是，单调递增区间是；（2）.

【解析】

（1）将代入函数的解析式，求出函数的导数，分别解不等式和，可得出函数的减区间和增区间；

（2）由函数在定义域上为单调函数，可得知导函数在定义域上没有变号的零点，并设，然后对分和两种情况讨论，结合判断函数在区间是否有变号的零点，从而可得出实数的取值范围.

（1）当时，，函数的定义域为.

求导得，

令得，令得，

所以，函数的单调递减区间是，单调递增区间是；

（2），记，

若函数在定义域内是单调函数，则导函数在定义域内没有变号零点，即函数在没有变号的零点.

根据二次函数的性质，时，，，一定有正根，

在区间上，，函数单调递减，

在区间上，，函数单调递增，不合题意；

当时，若，

此时，函数在定义域内是单调减函数，符合题意；

若，此时有，，

则函数有两个不相等的正根，函数有个极值点，不是单调函数.

综上所述，若函数在定义域内是单调函数，求实数的取值范围是.