Question

【题目】已知函数f（x）＝ln（ax+b）﹣x（a，b∈R，ab≠0）．

（1）讨论f（x）的单调性；

（2）若f（x）≤0恒成立，求ea（b﹣1）的最大值．

Answer 1

【答案】（1）讨论见解析；（2）最大值为0

【解析】

（1）分时，时，两种情况讨论单调性．
（2）由（1）知：当时，取且时，，与题意不合，当时，由题目中恒成立可得，,得，所以，令，只需求即可.

（1）①当a＞0时，则f（x）的定义域为（﹣，+∞），

＝，由f′（x）＝0，

得x＝1﹣＞﹣，

所以f（x）在（﹣，1﹣）单调递增，在（1﹣，+∞）单调递减，

②当a＜0时，则f（x）的定义域为（﹣∞，﹣），

由f′（x）＝0得x＝1﹣＞﹣，

所以f（x）在（﹣∞，﹣）单调递减．

综上：当a＞0时，f（x）在（﹣，1﹣）单调递增，在（1﹣，+∞）单调递减.

当a＜0时, f（x）在（﹣∞，﹣）单调递减．

（2）由（1）知：当a＜0时，取x0＜且x0＜0时，

f（x0）＞ln（a×+b）﹣x0＞0，与题意不合，

当a＞0时，f（x）max＝f（1﹣）＝lna﹣1+≤0，即b﹣1≤ a﹣alna﹣1，

所以ea（b﹣1）≤（a﹣alna﹣1）ea，令h（x）＝（x﹣xlnx﹣1）ex，

则h′（x）＝（x﹣xlnx﹣lnx﹣1）ex，

令u（x）＝x﹣xlnx﹣lnx﹣1，则u′（x）＝﹣lnx﹣，

则u″（x）＝，

u′（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．

则u′（x）max＝u′（1）＜0，

从而u（x）在（0，+∞）单调递减，又因为u（1）＝0．

所以当x∈（0，1）时，u（x）＞0，即h′（x）＞0；

当x∈（1，+∞）时，u（x）＜0，即h′（x）＜0，

则h（x）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减，

所以h（x）max＝h（1）＝0．

所以ea（b﹣1）的最大值为0.