Question

【题目】已知函数.

（1）若，求函数的单调区间；

（2）若函数在区间内有两个极值点、，求实数的取值范围；

（3）在（1）的基础上，求证：.

Answer 1

【答案】（1）单增区间为，单减区间为；（2）；（3）证明见解析.

【解析】

（1）将代入函数的解析式得出，然后利用导数可求出函数的单调增区间和减区间；

（2）对函数求导得出，问题转化为函数在区间内有两个函数，等价于直线与函数在区间上有两个交点，利用数形结合思想可求出实数的取值范围；

（3）由题意得出，将两个等式相加得，利用分析法得出要证的不等式等价于，再将两等式相减得出，并证明出不等式，从而可得出，从而得出，即可证明所证不等式成立.

（1）时，，则，

由，得；，得.

因此，函数的单增区间为，单减区间为；

（2），其中，

由题意可知，、是函数在区间内的两个零点．

由得，结合（1），则问题也等价于在区间有两个零点，

从而，可转化为直线与的图象在上有两个交点，

由（1）知，函数在上单减，在上单增，

而当时，，，，

如下图所示：

由图象可知，当时，直线与函数在区间上的图象有两个交点，因此，实数的取值范围是；

（3）由（2）可知，、为在区间内的两个根，

且，其中是函数的极小值点，.

由，可得

故所证.

下面证明出，即证.

设，即证，即证.

构造函数，其中，则，

所以，函数在区间上单调递增，当时，.

所以，当时，，所以，.

将等式两式相减得，.

，因此，.

所以，.