Question

9．已知△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足csinA=$\sqrt{3}$acosC，则sinA+sinB的最大值是$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 根据正弦定理求出角C的大小，利用辅助角公式即可得到结论．

解答 解：∵csinA=$\sqrt{3}$acosC，
∴由正弦定理可得sinCsinA=$\sqrt{3}$sinAcosC，
∴tanC=$\sqrt{3}$，
即C=$\frac{π}{3}$，则A+B=$\frac{2π}{3}$，
∴B=$\frac{2π}{3}$-A，0＜A＜$\frac{2π}{3}$，
∴sinA+sinB=sinA+sin（$\frac{2π}{3}$-A）=sinA+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosA+$\frac{1}{2}$sinA=$\frac{3}{2}$sinA+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosA=$\sqrt{3}$sin（A+$\frac{π}{6}$），
∵0＜A＜$\frac{2π}{3}$，
∴$\frac{π}{6}$＜A+$\frac{π}{6}$＜$\frac{5π}{6}$，
∴当A+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$时，sinA+sinB取得最大值$\sqrt{3}$，
故答案为：$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查三角函数的化简和求值，利用正弦定理求出C的大小是解决本题的关键，属于基本知识的考查．