Question

已知函数f（x）=x+，

（1）求函数的定义域；

（2）证明f（x）在（0，1］上是减函数，在［1，+∞）上为增函数；

（3）求函数f（x）在区间（0，+∞）上的最小值；

（4）根据以上函数的性质作出f（x）在区间（0，+∞）上的图象.

Answer 1

（1）解：函数的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）.

（2）证明：设x₁、x₂是（0，1）上的任意两个实数，且x₁＜x₂，则f（x₂）-f（x₁）=（x₂+）-（x₁+）=（x₂-x₁）+（-）=（x₂-x₁）+=（x₂-x₁）（1-）.

∵x₁、x₂∈（0，1］，

∴0＜x₁x₂＜1，＞1.

∴1-＜0.

又∵x₂-x₁＞0，

∴f（x₂）-f（x₁）＜0，即f（x₂）＜f（x₁）.

∴函数f（x）=x+在（0，1）上是减函数.

同理可证f（x）=x+在［1，+∞］上是增函数.

（3）解：∵函数f（x）=x+在（0，1］上是减函数，

∴当x=1时，函数取最小值y_min=f（1）=1+1=2.

又∵f（x）=x+在［1，+∞）上是增函数，∴当 x=1时，也取最小值y_min=f（1）=1+1=2 .

综上所述，函数在（0，+∞）上的最小值为2.

（4）解：函数的图象如下图：