Question

已知点A（-1，1），B（1，1），点P是直线l：y=x-2上的一动点，当∠APB最大时，则过A，B，P的圆的方程是

x²+y²=2

．

Answer 1

分析：根据题意得到经过A和B点，且圆心为原点的圆O与直线y=x-2相切时，若设切点为K，此时∠AKB最大，即P与K重合，若P在其他位置，即P在圆O外时，可得出∠APB比∠AKB小，设出圆的标准方程为x²+y²=r²，由A在圆上，求出|OA|的长，即为圆的半径，即可确定出圆的标准方程．

解答：解：根据题意画出相应的图形，如图所示：

当圆心为原点的圆过A和B，且与直线y=x-2相切时，设切点为点k，
此时∠AKB为最大角，点P在点K的位置，即∠APB此时最大，
设圆的方程为x²+y²=r²，
∵A在圆O上，A（-1，1），
∴圆的半径r=|OA|=

(-1)2+12

=

2

，
则所求圆的方程为x²+y²=2．
故答案为：x²+y²=2

点评：此题考查了圆的标准方程，涉及的知识有：两点间的距离公式，直线与圆相切的性质，其中得出当圆心为原点的圆过A和B，且与直线y=x-2相切时，切点K为∠APB最大P的位置时解本题的关键．