Question

4．已知点H（-1，0），动点P是y轴上除原点外的一点，动点M满足PH⊥PM，且PM与x轴交于点Q，Q是PM的中点．
（1）求动点M的轨迹E的方程；
（2）若点F是曲线E的焦点，过F的两条直线l₁，l₂关于x轴对称，且分别交曲线E于AC，BD，若四边形ABCD的面积等于$\frac{1}{2}$．求直线l₁，l₂的方程．

Answer 1

分析 （1）$\overrightarrow{PH}$=（-1，-y′），$\overrightarrow{PQ}$=（x′，-y′），利用PH⊥PM，求动点M的轨迹E的方程；
（2）联立直线l₁：x=my+$\frac{1}{8}$（m＞0）与曲线E，得${y}^{2}-\frac{m}{2}y-\frac{1}{16}=0$，结合韦达定理，即可用m表示四边形ABCD的面积，求出m，即可求直线l₁，l₂的方程．

解答 解：（1）设M（x，y），P（0，y′）（y′≠0），Q（x′，0），
$\overrightarrow{PH}$=（-1，-y′），$\overrightarrow{PQ}$=（x′，-y′），
∵PH⊥PM，
∴-x′+y′²=0，
∵$x′=\frac{x}{2}，y′=-y$，∴y²=$\frac{x}{2}$（y≠0）；
（2）联立直线l₁：x=my+$\frac{1}{8}$（m＞0）与曲线E，得${y}^{2}-\frac{m}{2}y-\frac{1}{16}=0$，
∴y_A+y_C=$\frac{m}{2}$，y_Ay_C=-$\frac{1}{16}$，
由题意，四边形ABCD是等腰梯形，
∴S=$|\frac{（2{y}_{A}+2{y}_{D}）（{x}_{D}-{x}_{A}）}{2}|$=$|-m（{y}_{A}-{y}_{C}）^{2}|$=|$\frac{{m}^{2}+m}{4}$|=$\frac{1}{2}$．∴m=1，
∴直线l₁：x=y+$\frac{1}{8}$，直线l₂：x=-y+$\frac{1}{8}$．

点评 本题考查轨迹方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查面积的计算，属于中档题．