Question

14．已知函数f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-cos²x-$\frac{1}{2}$，x∈R
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和在区间（0，$\frac{π}{2}$）上的值域；
（Ⅱ）设在△ABC中，内角所对边的边长分别为，且c=2$\sqrt{3}$，f（C）=0，若sinB=2sinA，求a，b的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）首先利用三角函数的关系式的恒等变换把函数的关系式变性成正弦型函数，进一步求出函数的周期和最值．
（Ⅱ）利用函数的关系式，首先根据三角形的交的他范围，进一步求出C的大小，最后利用正弦和余弦定理求出结果．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-cos²x-$\frac{1}{2}$，
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1+cos2x}{2}$-$\frac{1}{2}$，
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x-1，
=sin（2x-$\frac{π}{6}$）-1．
∴f（x）的最小正周期是$T=\frac{2π}{2}=π$．
∵0＜x＜$\frac{π}{2}$，则$f（x）∈（-\frac{3}{2}，0]$；     
（Ⅱ）由$f（C）=sin（2C-\frac{π}{6}）-1=0$，得到$sin（2C-\frac{π}{6}）=1$，
∴$2C-\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$，即$C=\frac{π}{3}$，
∵sinB=2sinA，
∴由正弦定理得b=2a①，
又$c=\sqrt{3}$，
∴由余弦定理，得${{c}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}-2abcos\frac{π}{3}$，即a²+b²-ab②，
联立①②解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=4}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了倍角公式、和差公式三角函数的周期公式、正弦函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．