Question

6．如图所示的四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，E为PC的中点．
（1）求证：PA∥平面BDE．
（2）设AC=6，BD=4，PA=3，求四棱锥E-ABCD的体积．

Answer 1

分析 （1）连接AC交BD于点O，连接OE，由中位线定理得出PA∥OE，故结论成立；
（2）V_E-ABCD=$\frac{1}{2}$V_P-ABCD，代入体积公式计算即可．

解答 证明：（1）连接AC交BD于点O，连接OE．
∵四边形ABCD是菱形，
∴O为AC的中点，又E为PC的中点，
∴EO∥PA．
∵PA?平面BDE，EO?平面BDE，
∴PA∥平面BDE．
（2）S_菱形ABCD=$\frac{1}{2}AC•BD$=12，
V_P-ABCD=$\frac{1}{3}$S_菱形ABCD•PA=$\frac{1}{3}×12×3$=12．
∵E为PC的中点，
∴V_E-ABCD=$\frac{1}{2}$V_P-ABCD=6．

点评 本题考查了线面平行的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．