Question

已知函数，在点处的切线方程是（e为自然对数的底）。

（1）求实数的值及的解析式；

（2）若是正数，设，求的最小值；

（3）若关于x的不等式对一切恒成立，求实数的取值范围。

 

Answer 1

（1）a=1，b=0，f（x）=xlnx；（2）tln（3）

【解析】

试题分析：（1）根据函数在点（e，f（e））处的切线方程是2x﹣y﹣e=0，可得f（e）=e，f′（e）=2，利用点（e，f（e））在函数f（x）=ax•lnx+b上，即可求实数a，b的值及f（x）的解析式；

（2）h（x）=f（x）+f（t﹣x）=xlnx+（t﹣x）ln（t﹣x），h（x）的定义域为（0，t），确定函数的单调性，从而可求h（x）的最小值；

（3）xlnx+（6﹣x）ln（6﹣x）=f（x）+f（6﹣x）=h（x），t=6时h（x）min=h（3）=6ln3=ln729，从而关于x的不等式xlnx+（6﹣x）ln（6﹣x）≥ln（k2﹣72k）对一切x∈（0，6）恒成立，转化为ln（k2﹣72k）≤ln729，解不等式，即可求得实数k的取值范围．

试题解析：（1）依题意有2e﹣f（e）﹣e=0，∴f（e）=e

∵f（x）=ax•lnx+b，∴f′（x）=alnx+a+b∴f′（e）=alne+a+b=2，∴2a+b=2，∴b=2﹣2a

∵点（e，f（e））在函数f（x）=ax•lnx+b上∴f（e）=aelne+b=ae+b=e

∴ae+2﹣2a=e，∴a=1∴b=0，∴f（x）=xlnx；

故实数a=1，b=0，f（x）=xlnx …（4分）

（2）h（x）=f（x）+f（t﹣x）=xlnx+（t﹣x）ln（t﹣x），

的定义域为；

增函数减函数

（8分）

（3）

由(2)知

对一切恒成立

故实数的取值范围.（12分）

考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．