Question

设直角三角形的两条直角边的长分别为，b，斜边长为c，斜边上的高为h，则有
①，                                   ②，                
③，                                   ④.
其中正确结论的序号是      ；进一步类比得到的一般结论是       .

Answer 1

②④

由a+b＜c+h成立，我们可以类比给出a³+b³＜c³+h³；a⁴+b⁴＜c⁴+h⁴；a⁵+b⁵＜c⁵+h^5等，再逐一分析它们的真假，再根据其中的规律，归纳猜想出一般性的结论．
解：在直角三角形ABC中，a=csinA，b=ccosA，ab=ch，所以h=csinAcosA．
于是aⁿ+bⁿ=cⁿ（sinⁿA+cosⁿA），cⁿ+hⁿ=cⁿ（1+sinⁿAcosⁿA）．aⁿ+bⁿ-cⁿ-hⁿ=cⁿ（sinⁿA+cosⁿA-1-sinⁿAcosⁿA）=cⁿ（sinⁿA-1）（1-cosⁿA）＜0．
所以aⁿ+bⁿ＜cⁿ+hⁿ（n∈N^*）．
故正确答案是②④；结论是aⁿ+bⁿ＜cⁿ+hⁿ（n∈N^*）。