Question

已知函数f（x）=x|x²-3|，x∈[0，m]其中m∈R，且m＞0．
（1）若m＜1，求证：函数f（x）是增函数．
（2）如果函数f（x）的值域是[0，2]，试求m的取值范围．
（3）若m≥1，试求函数f（x）的值域．

Answer 1

证明：（1）当m＜1时，f（x）=x（3-x²）=3x-x³．
因为f′（x）=3-3x²=3（1-x²）＞0．
所以f（x）是增函数．
（2）令g（x）=x|x²-3|，x≥0．
则g（x）=

3x-x3，0≤x≤ 3 x3-3x，x＞ 3

，
当0＜x＜

3

时，由g′（x）=3-3x²=0得x=1，
所以g（x）在[0，1]上是增函数，在[1，

3

]上是减函数．
当x＞

3

时，g′（x）=3x²-3＞0，所以g（x）在[

3

，+∞）上是增函数．
所以当x∈[0，

3

]时，函数g（x）的最大值是g（1）=2，最小值是g（0）=g（

3

）=0．
从而0＜m＜1不符合题意，1≤m≤

3

符合题意．
当m＞

3

时，在x∈[0，

3

)时，f（x）∈[0，2]；
在x∈[

3

，m]时，f（x）∈[0，f（m）]．
这时f（x）的值域是[0，2]的充要条件是f（m）≤2，
即m³-3m≤2，（m-2）（m+1）²≤0，解得

3

＜m≤2．
综上所述，m的取值范围是[1，2]．
（3）由（2）知，当1≤m≤2时，f（x）在[0，m]上的最大值为f（1）=2，最小值为f（0）=0，
∴f（x）在[0，m]上的值域为[0，2]．
当m＞2时，f（x）在[

3

，m]上单调递增，
f(x)max=f(m)=m3-3m，
∴f（x）在[0，m]的值域为[0，m³-3m]．