Question

20．如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2，点E在棱AB上移动．
（1）当E为AB的中点时，求AD₁与平面ECD₁所成角的正弦值；
（2）当AE等于何值时，二面角D₁-EC-D的大小为$\frac{π}{4}$．

Answer 1

分析 （1）先求点A到面ECD₁的距离为$\frac{{\sqrt{6}}}{6}$，设AD₁与平面ECD₁所成角为θ，则可求AD₁与平面ECD₁所成角的正弦值；
（2）过点D作DH⊥EC，垂足为H，连结D₁H，证明∠D₁HD为二面角D₁-EC-D的平面角，利用等面积求出BE，即可当AE等于何值时，二面角D₁-EC-D的大小为$\frac{π}{4}$．

解答 解：（1）△ECD₁中，EC=$\sqrt{2}$，CD₁=$\sqrt{5}$，ED₁=$\sqrt{3}$，∴ED₁⊥EC，∴${S}_{△{D}_{1}EC}$=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
设求点A到面ECD₁的距离为h，则$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{6}}{2}h=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×1×1$，
∴求点A到面ECD₁的距离为h=$\frac{{\sqrt{6}}}{6}$，设AD₁与平面ECD₁所成角为θ，则$sinθ=\frac{{\frac{{\sqrt{6}}}{6}}}{{A{D_1}}}=\frac{{\sqrt{3}}}{6}$．
（2）过点D作DH⊥EC，垂足为H，连结D₁H，
∵D₁D⊥平面ABCD，∴D₁D⊥EC，∴EC⊥平面D₁HD，∴D₁H⊥EC，
∴∠D₁HD为二面角D₁-EC-D的平面角，∴$∠{D_1}HD=\frac{π}{4}$，∴DH=DD₁=1，
在△DEC中，$EC=\frac{DC•BC}{DH}=2$，∴$BE=\sqrt{3}$，∴$AE=2-\sqrt{3}$

点评 本题考查线面角、平面与平面所成角，考查三棱锥体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．