Question

7．某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足关系式：y=$\frac{a}{x-3}$+10（x-6）²，其中3＜x＜6，a为常数，已知销售的价格为5元/千克时，每日可以售出该商品11千克．
（1）求a的值；
（2）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大，并求出最大值．

Answer 1

分析 （1）由x=5时，y=11，代入函数的解析式，解关于a的方程，可得a值；
（2）商场每日销售该商品所获得的利润=每日的销售量×销售该商品的单利润，可得日销售量的利润函数为关于x的三次多项式函数，再用求导数的方法讨论函数的单调性，得出函数的极大值点，从而得出最大值对应的x值．

解答 解：（1）因为x=5时，y=11，
y=$\frac{a}{x-3}$+10（x-6）²，其中3＜x＜6，a为常数．
所以$\frac{a}{2}$+10=11，故a=2；
（2）由（1）可知，该商品每日的销售量y=$\frac{2}{x-3}$+10（x-6）²，
所以商场每日销售该商品所获得的利润为f（x）=（x-3）[$\frac{2}{x-3}$+10（x-6）²]
=2+10（x-3）（x-6）²，3＜x＜6．
从而，f′（x）=10[（x-6）²+2（x-3）（x-6）]=30（x-6）（x-4），
于是，当x变化时，f（x）、f′（x）的变化情况如下表：

x	（3，4）	4	（4，6）
f'（x）	+	0	-
f（x）	单调递增	极大值42	单调递减

由上表可得，x=4是函数f（x）在区间（3，6）内的极大值点，也是最大值点．
所以，当x=4时，函数f（x）取得最大值，且最大值等于42．
答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．

点评 本题考查导数在实际问题中的运用：求最值，求出利润的函数式和正确求导是解题的关键，考查运算能力，属于中档题．