Question

7．（1）设（3x-1）⁴=a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+a₄x⁴．
①求a₀+a₁+a₂+a₃+a₄；
②求a₀+a₂+a₄；
③求a₁+a₂+a₃+a₄；
（2）求S=C₂₇¹+C₂₇²+…+C₂₇²⁷除以9的余数．

Answer 1

分析 （1）①利用赋值法，令x=1即可计算a₀+a₁+a₂+a₃+a₄的值；
②令x=-1，结合①即可求出a₀+a₂+a₄的值；
③令x=0，结合二项式系数和即可求出结果；
（2）利用二项式系数和，把S分解为9的倍数形式，再求对应的余数．

解答 解：（1）①令x=1，得a₀+a₁+a₂+a₃+a₄=（3-1）⁴=16；（3分）
②令x=-1，得a₀-a₁+a₂-a₃+a₄=（-3-1）⁴=256，
而由①知a₀+a₁+a₂+a₃+a₄=（3-1）⁴=16，
两式相加，得2（a₀+a₂+a₄）=272，
所以a₀+a₂+a₄=136；（6分）
③令x=0，得a₀=（0-1）⁴=1，
所以a₁+a₂+a₃+a₄=a₀+a₁+a₂+a₃+a₄-a₀=16-1=15；
（2）S=${C}_{27}^{1}$+${C}_{27}^{2}$+…+${C}_{27}^{27}$
=2²⁷-1
=8⁹-1
=（9-1）⁹-1
=${C}_{9}^{0}$×9⁹-${C}_{9}^{1}$×9⁸+…+${C}_{9}^{8}$×9-${C}_{9}^{9}$-1
=9×（${C}_{9}^{0}$×9⁸-${C}_{9}^{1}$×9⁷+…+${C}_{9}^{8}$）-2
=9×（${C}_{9}^{0}$×9⁸-${C}_{9}^{1}$×9⁷+…+${C}_{9}^{8}$-1）+7，
显然上式括号内的数是正整数．
故S被9除的余数为7．

点评 本题考查了利用赋值法求二项式系数的应用问题，也考查了整除的应用问题，是基础题目．