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    17．甲、乙两人组成“火星队”参加投篮游戏，每轮游戏中甲、乙各投一次，如果两人都投中，则“火星队”得4分；如果只有一人投中，则“火星队”得2分；如果两人都没投中，则“火星队”得0分．已知甲每次投中的概率为$\frac{4}{5}$，乙每次投中的概率为$\frac{3}{4}$；每轮游戏中甲、乙投中与否互不影响，假设“火星队”参加两轮游戏，求：
    （I）“火星队”至少投中3个球的概率；
    （II）“火星队”两轮游戏得分之和X的分布列和数学期望EX．

    分析 （I）分别计算至少投进3球所对应的4中情况的概率，再相加即可；
    （II）计算所有可能的得分情况的概率，列出分布列计算数学期望．

    解答 解：（Ⅰ）设事件Ai为“甲第i次投中”，事件Bi为“乙第i次投中”，
    ∴$P（至少投进3球）=P（{A_1}{A_2}{B_1}{B_2}）+P（\overline{A_1}{A_2}{B_1}{B_2}）+P（{A_1}\overline{A_2}{B_1}{B_2}）+P（{A_1}{A_2}\overline{B_1}{B_2}）+P（{A_1}{A_2}{B_1}{\overline B_2}）$=$\frac{4}{5}•\frac{4}{5}•\frac{3}{4}•\frac{3}{4}+2•（\frac{1}{5}•\frac{4}{5}•\frac{3}{4}•\frac{3}{4}+\frac{4}{5}•\frac{4}{5}•\frac{1}{4}•\frac{3}{4}）=\frac{39}{50}$．
    答：“火星队”至少投中3个球的概率为$\frac{39}{50}$．
    （Ⅱ）X的所有可能的取值为0，2，4，6，8．
    $P（X=0）=\frac{1}{4}•\frac{1}{5}•\frac{1}{4}•\frac{1}{5}=\frac{1}{400}$，$P（X=2）=2•（\frac{3}{4}•\frac{1}{5}•\frac{1}{4}•\frac{1}{5}+\frac{1}{4}•\frac{4}{5}•\frac{1}{4}•\frac{1}{5}）=\frac{14}{400}=\frac{7}{200}$，$P（X=4）=2•（\frac{3}{4}•\frac{4}{5}•\frac{1}{4}•\frac{1}{5}+\frac{1}{4}•\frac{4}{5}•\frac{3}{4}•\frac{1}{5}）+\frac{3}{4}•\frac{1}{5}•\frac{3}{4}•\frac{1}{5}+\frac{1}{4}•\frac{4}{5}•\frac{1}{4}•\frac{4}{5}=\frac{73}{400}$$P（X=6）=2•（\frac{3}{4}•\frac{4}{5}•\frac{3}{4}•\frac{1}{5}+\frac{3}{4}•\frac{4}{5}•\frac{1}{4}•\frac{4}{5}）=\frac{168}{400}=\frac{21}{50}$，$P（X=8）=\frac{3}{4}•\frac{4}{5}•\frac{3}{4}•\frac{4}{5}=\frac{144}{400}=\frac{9}{25}$．
    ∴X的分布列为

    X02468
    P$\frac{1}{400}$$\frac{7}{200}$$\frac{73}{400}$$\frac{21}{50}$$\frac{9}{25}$
    $EX=0×\frac{1}{400}+2×\frac{14}{400}+4×\frac{73}{400}+6×\frac{168}{400}+8×\frac{144}{400}=\frac{31}{5}$．

    点评 本题考查了相互独立事件的概率计算，离散变量的分布列和数学期望，属于中档题．

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