Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，C=

π

3

，b=5，△ABC的面积为10

3

．
（Ⅰ）求a，c的值；
（Ⅱ）求sin(A+

π

6

)的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用已知条件及三角形的面积公式求得a，进而利用余弦定理求得c．
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中求得的三边及余弦定理求得cosA的值，然后通过同角三角函数的基本关系求得sinA的值，最后利用正弦的两角和公式求得答案．

解答：解：（Ⅰ）由已知，C=

π

3

，b=5，
因为  S△ABC=

1

2

absinC，
即    10

3

=

1

2

a•5sin

π

3

，
解得  a=8．
由余弦定理可得：c2=64+25-80cos

π

3

=49，
所以  c=7．
（Ⅱ）由（Ⅰ）及余弦定理有cosA=

49+25-64

70

=

1

7

，
由于A是三角形的内角，
易知  sinA=

1-cos2A

=

4 3

7

，
所以  sin(A+

π

6

)=sinAcos

π

6

+cosAsin

π

6

=

4 3

7

×

3

2

+

1

7

×

1

2

=

13

14

．

点评：本题主要考查了解三角形及正弦定理和余弦定理的应用．考查了学生利用三角函数的基本性质处理边角问题的能力．