Question

已知函数f（x）=2cosxsin（x+

π

3

）-

3

sin2x+sinxcosx+1．
（1）求函数f（x）取得最大值时x的集合；
（2）当x∈[0，

π

12

]时，求f（x）的值域．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,三角函数的最值

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）化简可得f（x）=2sin（2x+

π

3

）+1，由2x+

π

3

=2kπ+

π

2

，k∈Z可解得：x=kπ+

π

12

，k∈Z
（2）由x∈[0，

π

12

]，可得2x+

π

3

∈[

π

3

，

π

2

]，从而可求f（x）的值域．

解答： 解：（1）∵f（x）=2cosxsin（x+

π

3

）-

3

sin2x+sinxcosx+1=

1

2

sin2x+

3 (1+cos2x)

2

-

3 (1-cos2x)

2

+

1

2

sin2x+1=2sin（2x+

π

3

）+1
∴由2x+

π

3

=2kπ+

π

2

，k∈Z可解得：x=kπ+

π

12

，k∈Z
即：当x∈{x|x=kπ+

π

12

，k∈Z}时，数f（x）取得最大值3．
（2）∵由x∈[0，

π

12

]，可得2x+

π

3

∈[

π

3

，

π

2

]，有

3

2

≤sin（2x+

π

3

）≤1
∴

3

+1≤f（x）≤3，即f（x）的值域为[

3

+1，3]．

点评：本题主要考察了两角和与差的正弦函数，三角函数的最值，属于基本知识的考查．