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已知数列{an}的前n项和为Sn,对任意的n∈N+,点(n,Sn)均在函数f(x)=2x的图象上.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)记bn=log2an,求使
1
b2b4
+
1
b4b6
+
1
b6b8
+…+
1
b2nb2n+2
+<
10
21
成立的n的最大值.
分析:(1)由题意得Sn=2n,由项与前n项的关系an=
s1             n=1
sn-sn-1 n≥2
得数列{an}的通项公式;
(2)由数列{an}的通项公式得bn的表达式,把数列{bn}中的每项都裂成两部分,也就是差的形式,各项相加,可消项,最后只留两项,代入不等式可求n的范围,又n是正整数,可得n的最大值.
解答:解:(1)由题意得Sn=2n,则Sn-1=2n-1(n≥2),
∴an=Sn-Sn-1=2n-2n-1=2n-1(n≥2),
又a1=S1=2,∴an=
2      n=1
2n-1  n≥2

(2)∵bn=log2an=
1     n=1
n-1  n≥2

1
b2nb2n+2
=
1
(2n-1)(2n+1)
=
1
2
1
2n-1
-
1
2n+1

1
b2b4
+
1
b4b6
+
1
b6b8
+…+
1
b2nb2n+2

=
1
2
(1-
1
3
+
1
3
-
1
5
+
1
5
-
1
7
+…+
1
2n-1
-
1
2n+1

=
1
2
(1-
1
2n+1

1
2
(1-
1
2n+1
)<
10
21
得n<10
∴使
1
b2b4
+
1
b4b6
+
1
b6b8
+…+
1
b2nb2n+2
10
21
成立的n的最大值为9.
点评:用到项与前n项和之间的关系,注意n=1的时候;用裂项法求和时,注意项的形式,分子上是一个常数,分母上可分解成两个关于n的一次式相乘.
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