Question

2．设三个数$\sqrt{{{（x-\sqrt{2}）}^2}+{y^2}}$，$\sqrt{3}$，$\sqrt{{{（x+\sqrt{2}）}^2}+{y^2}}$成等差数列，记（x，y）对应点的曲线是R．
（Ⅰ）求曲线△PQR的方程；
（Ⅱ）已知点M（1，0），点N（3，2），点P（m，n）（m≠3），过点M任作直线l与曲线C相交于A，B两点，设直线AN，BN，PN的斜率分别为k₁，k₂，k₃，若k₁+k₂=2k₃，求m，n满足的关系式．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列性质可以得到曲线为椭圆，进而可以得到椭圆方程；
（2）分情况讨论，当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=1，联立椭圆方程可得到交点坐标，进而计算出斜率k₁和k₂；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x-1），设交点坐标为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用韦达定理和直线方程即可计算k₁+k₂，得到k₁，即可得到m，n的关系式．

解答 解：（1）依题意：$\sqrt{{{（{x-\sqrt{2}}）}^2}+{y^2}}+\sqrt{{{（x+\sqrt{2}）}^2}+{y^2}}=2\sqrt{3}$，
所以点P（x，y）对应的曲线方程$\left\{\begin{array}{l}\;2b=2\\ \;\;\;\;c=\sqrt{3}\;b\\ \;\;{b^2}+{c^2}={a^2}，\;\end{array}\right.$是椭圆，则可$得\;\left\{\begin{array}{l}\;a=\sqrt{3}\\ c=\sqrt{2}.\end{array}\right.$．
故b=1，
椭圆C方程为$\frac{x2}{3}$+y²=1；
（2）①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=1．由$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=±\frac{\sqrt{6}}{3}.\end{array}$，
不妨设A（1，$\frac{\sqrt{6}}{3}$），B（1，-$\frac{\sqrt{6}}{3}$），
因为k₁+k₂=$\frac{2-\frac{\sqrt{6}}{3}}{2}$+$\frac{2+\frac{\sqrt{6}}{3}}{2}$=2，且k₁+k₂=2k₃，
∴k₃=1，
∴m，n满足的关系式为$\frac{n-2}{m-3}$=1，即m-n-1=0．
②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x-1），
$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：（3k²+1）x²-6k²x+3k²-3=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=$\frac{6{k}^{2}}{3{k}^{2}+1}$，x₁x₂=$\frac{3{k}^{2}-3}{3{k}^{2}+1}$，
又y₁=k（x₁-1），y₂=k（x₂-1），
∴k₁+k₂=$\frac{2-{y}_{1}}{3-{x}_{1}}$+$\frac{2-{y}_{2}}{3-{x}_{2}}$，
=$\frac{（2-{y}_{1}）（3-{x}_{2}）+（2-{y}_{2}）（3-{x}_{1}）}{（3-{x}_{1}）（3-{x}_{2}）}$，
=$\frac{[2-k（{x}_{1}-x）]（3-{x}_{2}）+[2-k（{x}_{2}-1）]（3-{x}_{1}）}{{x}_{1}{x}_{2}-3（{x}_{1}+{x}_{2}）+9}$，
=$\frac{2k{x}_{1}{x}_{2}-（4k+2）（{x}_{1}+{x}_{2}）+6k+12}{{x}_{1}{x}_{2}-3（{x}_{1}+{x}_{2}）+9}$，
=$\frac{2k×\frac{3{k}^{2}-3}{3{k}^{2}+1}-（4k+2）×\frac{6{k}^{2}}{3{k}^{2}+1}+6k+12}{\frac{3{k}^{2}-3}{3{k}^{2}+1}-3×\frac{6{k}^{2}}{3{k}^{2}+1}+9}$=$\frac{2（12{k}^{2}+6）}{12{k}^{2}+6}$=2，
∴m，n满足的关系式为m-n-1=0，
综上所述，m，n满足的关系式为m-n-1=0．

点评 本题考查椭圆的定义，考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，直线的斜率公式，考查计算能力，属于中档题．