Question

已知函数f(x)=

4x+k•2x+1

4x+2x+1

（1）若对于任意的x∈R，f（x）＞0恒成立，求实数k的取值范围；
（2）若f（x）的最小值为-3，求实数k的取值范围；
（3）若对于任意的x₁、x₂、x₃，均存在以f（x₁）、f（x₂）、f（x₃）为三边长的三角形，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）换元，将f（x）解析式的分子分母转化为二次式，因为分母恒大于0，所以只需分子大于0，分离参数，利用均值不等式与不等式的性质得出右边式子的最大值，可得实数k的取值范围；
（2）将f（x）解析式用分离常数法变形，由均值不等式可得分母的取值范围，整个式子的取值范围由k-1的符号决定，故分为三类讨论，得出整个式子的取值范围，若有最小值，令其等于-3，求出实数k的取值范围；
（3）三条线段构成三角形的条件为两边之和大于第三边，得出f（x₁）+f（x₂）＞f（x₃）的不等式，由（2）知，f（x₁）、f（x₂）、f（x₃）在三种不同情况下的范围，与（2）同样，分三种情况进行讨论，转化为f（x₁）+f（x₂）的最小值与f（x₃）的最大值的不等式，进而求出实数k 的取值范围．

解答：解：（1）设t=2^x，则y=

t2+kt+1

t2+t+1

（t＞0），
∵y＞0恒成立，∴t＞0时，t²+kt+1＞0恒成立，
即t＞0时，k＞-（t+

1

t

）恒成立，
∵t＞0时，t+

1

t

≥2，∴-（t+

1

t

）≤-2，
当t=

1

t

，即t=1时，-（t+

1

t

）有最大值为-2，
∴k＞-2；
（2）f（x）=

4x+2x+1+(k-1)2x

4x+2x+1

=1+

k-1

2x+ 1 2x +1

，
令t=2^x+

1

2x

+1≥3，则y=1+

k-1

t

（t≥3），
当k-1＞0，即k＞1时，y∈（1，

k+2

3

]，无最小值，舍去；
当k-1=0，即k=1时，y∈{1}，最小值不是-3，舍去；
当k-1＜0，即k＜1时，y∈[

k+2

3

，1），
最小值为

k+2

3

=-3得k=-11；
综上k=-11．
（3）因对任意实数x₁、x₂、x₃，都存在以f（x₁）、f（x₂）、f（x₃）为三边长的三角形，故f（x₁）+f（x₂）＞f（x₃）对任意的x₁、x₂、x₃∈R恒成立．
当k＞1时，∵2＜f（x₁）+f（x₂）≤

2k+4

3

且1＜f（x₃）≤

k+2

3

，故

k+2

3

≤2，∴1＜k≤4；
当k=1时，∵f（x₁）=f（x₂）=f（x₃）=1，满足条件；
当k＜1时，∵

2k+4

3

≤f（x₁）+f（x₂）＜2，且

k+2

3

≤f（x₃）＜1，故

2k+4

3

≥1，∴-

1

2

≤k＜1；
综上所述：-

1

2

≤k≤4．

点评：本题主要考查求参数的范围，注意把所给式子化繁为简，一般常用换元法，把不等式转化为求最值间的不等式，在求最值的过程中，若与参数有关，要进行分类讨论．
在使用均值不等式应注意一定，二正，三相等．