Question

已知函数f（x）=x³+（a-1）x²+3x+b的图象与x轴有三个不同交点，且交点的横坐标分别可作为抛物线、双曲线、椭圆的离心率，则实数a的取值范围是________．

Answer 1

（-3，-2）
分析：先把函数f（x）=x³+（a-1）x²+3x+b的图象与x轴有三个不同交点转化为方程x³+（a-1）x²+3x+b=0有三个不等实根．再根据1是方程的根代入求出b和a之间的关系式；代入原方程分解因式，最后转化为x²+a（x+1）+3=0有两个根，且一个根在（0，1）上，另一根在（1，+∞）上，再借助于图象求出实数a的取值范围即可．
解答：解：函数f（x）=x³+（a-1）x²+3x+b的图象与x轴有三个不同交点，即是方程x³+（a-1）x²+3x+b=0有三个不等实根．
由题得1是方程的根，故有1+（a-1）+3+b=0?b=-a-3?x³+（a-1）x²+3x+b=x³+（a-1）x²+3x-a-3=（x-1）[x²+a（x+1）+3]=0．
因为交点的横坐标分别可作为抛物线、双曲线、椭圆的离心率
故方程g（x）=x²+a（x+1）+3=0有两个根，且一个根在（0，1）上，另一根在（1，+∞）上，
由图得，
有g（0）＞0且g（1）＜0?a＞-3且a＜-2，
故满足要求的实数a的取值范围是（-3，-2）．
故答案为：（-3，-2）．
点评：本题主要考查根的个数问题以及一元二次根的分布问题．在解决一元二次方程根的分布问题时，常常是把其对应函数的图象找出来，借助于图象来解．