Question

如图，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱长和底面边长均为1，M是底面BC边上的中点，N是侧棱CC₁上的点，且CN=2C₁N，
（Ⅰ）求二面角B₁-AM-N的平面角的余弦值；
（Ⅱ）求点B₁到平面AMN的距离。

Answer 1

解：（Ⅰ）因为M是底面BC边上的中点，所以AM⊥BC， 又AM⊥CC1，所以AM⊥面BC， 从而AM⊥B1M，AM⊥NM， 所以∠B1MN为二面角B1-AM-N的平面角。 又B1M=， MN=， 连B1N，得B1N=， 在△B1MN中，由余弦定理得 ， 故所求二面角B1-AM-N的平面角的余弦值为。 （Ⅱ）过B1在面内作直线，H为垂足， 又AM⊥平面， 所以AM⊥B1H，于是B1H⊥平面AMN， 故B1H即为B1到平面AMN的距离。 在中，B1H=B1M， 故点B1到平面AMN的距离为1。