Question

20．若函数f（x）=$\root{3}{{x}^{3}+a}$-$\root{3}{{x}^{3}+1}$是偶函数，则实数a的值为1或-1．

Answer 1

分析 根据函数是偶函数，建立方程关系即可得到结论．

解答 解：函数的定义域为（-∞，+∞），
若函数是偶函数，则f（-1）=f（1），
则$\root{3}{-1+a}$-$\root{3}{-1+1}$=$\root{3}{1+a}$-$\root{3}{1+1}$，
即$\root{3}{-1+a}$=$\root{3}{1+a}$-$\root{3}{2}$，
解得a=1或a=-1，
若a=1，则f（x）=$\root{3}{{x}^{3}+a}$-$\root{3}{{x}^{3}+1}$=$\root{3}{{x}^{3}+1}$-$\root{3}{{x}^{3}+1}$=0，满足是偶函数，
若a=-1，则f（x）=$\root{3}{{x}^{3}+a}$-$\root{3}{{x}^{3}+1}$=$\root{3}{{x}^{3}-1}$-$\root{3}{{x}^{3}+1}$，
则f（-x）=$\root{3}{-{x}^{3}-1}$-$\root{3}{-{x}^{3}+1}$=-$\root{3}{{x}^{3}+1}$+$\root{3}{{x}^{3}-1}$=$\root{3}{{x}^{3}-1}$-$\root{3}{{x}^{3}+1}$=f（x），
满足f（x）是偶函数，
综上a=1或-1，
故答案为：1或-1

点评 本题主要考查函数奇偶性的应用，根据定义建立方程关系是解决本题的关键．注意要进行验证．