Question

如图是一块外轮廓线（A，B间的曲线部分）为抛物线的钢板，MN为抛物线的对称轴，A，B是抛物线上关于MN对称的两点，其中AB=2，MN=1，先要将其割成矩形PQRS，使矩形的两个顶点P，Q落在线段AB上，另两个顶点R，S落在抛物线上．（1）建立适当的直角坐标系，求出这一抛物线的方程；
（2）求矩形PQRS面积的最大值．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,抛物线的应用

专题：计算题,应用题,作图题,导数的综合应用,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）以顶点M为原点，抛物线的对称轴为y轴，建立直角坐标系，从而写出点的坐标，代入方程求方程；
（2）设R（x，-x²），Q（x，-1），从而写出面积S（x）=2x（1-x²）=2x-2x³，（0＜x＜1）；求导，由导数的正负确定函数的单调性，从而求最值．

解答： 解：（1）如图，以顶点M为原点，抛物线的对称轴为y轴，
建立直角坐标系，则B（1，-1），设抛物线方程为x²=-2py，
将B（1，-1）代入得，
P=

1

2

，
即抛物线方程为y=-x²（-1≤x≤1）；
（2）设R（x，-x²），Q（x，-1），
则矩形PQRS的长宽分别是2x，1-x²，
其面积为S（x）=2x（1-x²）=2x-2x³，（0＜x＜1）；
S′（x）=2-6x²，
令S′（x）=2-6x²=0解得，x=

3

3

；
列表如下，

x	（0， 3 3 ）	3 3	（ 3 3 ，1）
S′（x）	+	0	-
S（x）	上升	4 9 3	下降

则当x=

3

3

时，S（x）有最大值

4

9

3

；
故矩形PQRS的面积最大值为

4

9

3

．

点评：本题考查了圆锥曲线的应用，导数的综合应用及作图能力，同时考查了函数在实际问题中的应用，属于难题．