Question

11．已知函数f（x）=lnx+$\frac{x-1}{x}$的一条切线方程为y=kx+b，则k+b的最小值为（　　）

• A． -1
• B． 0
• C． 1
• D． 2

Answer 1

分析 求得函数的导数，设出切点（m，n），可得切线的斜率，再由g（m）=lnm-$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{{m}^{2}}$，求出导数，求得单调区间和极小值，也为最小值，即可得到所求值．

解答 解：f（x）=lnx+$\frac{x-1}{x}$的导数为f′（x）=$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$，
设切点为（m，n），则k=$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{{m}^{2}}$，
b=n-km=lnm+$\frac{m-1}{m}$-km=lnm-$\frac{2}{m}$，
即有k+b=lnm-$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{{m}^{2}}$，m＞0，
由g（m）=lnm-$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{{m}^{2}}$的导数为g′（m）=$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{{m}^{2}}$-$\frac{2}{{m}^{3}}$=$\frac{（m-1）（m+2）}{{m}^{3}}$，
当m＞1时，g′（m）＞0，g（m）递增；
当m＜1时，g′（m）＜0，g（m）递减．
即有m=1处，g（m）取得极小值，且为最小值0．
即有k+b的最小值为0．
故选：B．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，考查直线方程的运用，属于中档题．