Question

12．曲线C由$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1（y≥0）和$\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{5}$=1（y≥0）两部分组成，若过点A（0，2）作直线l与曲线C有且仅有两个公共点，则直线l的斜率的取值范围为$（{-\frac{{\sqrt{5}}}{3}，-\frac{2}{3}}）∪（{\frac{2}{3}，\frac{{\sqrt{5}}}{3}}）$．

Answer 1

分析 由A在y轴上，且在椭圆内部，由题意可知，当直线过B（-3，0）时，直线AB与曲线C有三个交点，直线AB绕A点向y轴正半轴旋转至与双曲线的渐近线平行时，易知直线l与曲线C在第一象限均有两个交点，由双曲线的渐近线方程可知：k₁＜$\frac{b}{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，即可求得∴$\frac{2}{3}$＜k₁＜$\frac{\sqrt{5}}{3}$，同理当-$\frac{\sqrt{5}}{3}$＜k₁＜-$\frac{2}{3}$时直线与曲线C在第二象限有两个交点，即可求得直线l的斜率的取值范围．

解答 解：如图过点A的直线绕A旋转时，当直线l过点B时直线AB与曲线C有三个交点，
即k₁＞$\frac{2}{3}$，
将直线AB绕A点向y轴正半轴旋转至与双曲线的渐近线平行时，易知直线l与曲线C在第一象限均有两个交点，
k₁＜$\frac{b}{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
∴$\frac{2}{3}$＜k₁＜$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
同理当-$\frac{\sqrt{5}}{3}$＜k₁＜-$\frac{2}{3}$时直线与曲线C在第二象限有两个交点，
∴斜率$（{-\frac{{\sqrt{5}}}{3}，-\frac{2}{3}}）∪（{\frac{2}{3}，\frac{{\sqrt{5}}}{3}}）$变化时均满足条件．
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故答案为：$（{-\frac{{\sqrt{5}}}{3}，-\frac{2}{3}}）∪（{\frac{2}{3}，\frac{{\sqrt{5}}}{3}}）$．

点评 本题考查直线与椭圆和双曲线的位置关系，考查双曲线的简单几何性质，斜率公式，考查数形结合思想，属于中档题．