Question

4．已知过点A（0，1）且斜率为k的直线l与圆C：（x-2）²+（y-3）²=1交于M，N两点．
（1）求k的取值范围；
（2）若S_△MON=6tan∠MON，其中O为坐标原点，求|MN|．

Answer 1

分析 （1）设出直线方程，利用直线与圆的位置关系，列出不等式求解即可．
（2）设出M，N的坐标，利用直线与圆的方程联立，通过韦达定理，结合已知条件，转化为向量的数量积，求出直线的斜率，然后判断直线与圆的位置关系求解|MN|即可．

解答 解：（1）由题设，可知直线l的方程为y=kx+1，因为直线l与圆C交于两点，
所以$\frac{|2k-3+1|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$＜1．解得$\frac{4-\sqrt{7}}{3}$＜k＜$\frac{4+\sqrt{7}}{3}$．
所以k的取值范围为：（$\frac{4-\sqrt{7}}{3}$，$\frac{4+\sqrt{7}}{3}$）．
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．将y=kx+1代入方程：（x-2）²+（y-3）²=1，
整理得（1+k²）x²-4（1+k）x+7=0．所以x₁+x₂=$\frac{4（1+k）}{1+{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{7}{1+{k}^{2}}$，
$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$=x₁x₂+y₁y₂=（1+k）²（x₁x₂）+k（x₁+x₂）+1=$\frac{4k（1+k）}{1+{k}^{2}}+8$．
由题设可得S_△MON=6tan∠MON，可得$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$=12．
即$\frac{4k（1+k）}{1+{k}^{2}}+8$=12，解得k=1，所以直线l的方程为y=x+1．
故圆心C在直线l上，所以|MN|=2．

点评 本题考查直线与圆的位置关系的综合应用，圆的方程的应用，考查转化思想以及计算能力．